Una pequeña introducción a la matemática financiera

Cuando disponemos de cierta cantidad de dinero o capital lo podemos destinar a gastarlo -satisfaciendo alguna de nuestras necesidades-, o bien a invertirlo esperando una recuperación, más o menos futura., según hayamos acordado.

En el primero de los casos el gasto lleva aparejada la compra de algún bien o producto que satisfaga nuestros deseos o necesidades; en el segundo de los casos, la inversión, para ser tal, ha de tener una compensación económica que nos resulte atractiva. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles un tiempo más tarde. La razón es el sacrificio del consumo.

El aprecio por la liquidez inmediata es subjetivo aunque el mercado del dinero le da un valor objetivo fijando un coste por la financiación al que llamamos interés. El interés se define como la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo, es decir, el precio por el alquiler o el uso del dinero por un periodo de tiempo determinado.

La compensación económica se exige, entre otras razones, por estas tres básicas:

• Por el riesgo asumido
• Por la falta de disponibilidad que supone invertir ese capital durante un tiempo determinado
• Por la depreciación del valor del dinero en ese mismo tiempo

La cuantificación de los intereses generados o compensación económica, depende de tres variables:

• La cuantía del dinero (capital) invertido
• El tiempo que dura dicha inversión, y
• El tanto de interés al que se llega de acuerdo en la operación

Además, cuando se habla de capital financiero (C;t) nos referimos a una cantidad de unidades monetarias (C) asociadas a un tiempo determinado (t).

Por último, no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantías y vencimientos) cuando nos referimos a operaciones financieras, sino que nos deberemos referir a capitales equivalentes, cuya definición daré más adelante, si bien os adelanto la idea de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si a usted le da igual cobrar AR$ 1.000 hoy o cobrar AR$ 1.050 en un tiempo establecido de antemano, por ejemplo un año, entonces es cuando se puede decir que ambos capitales (1.000;0) y (1.050;1) son equivalentes.

Generalizando un poco, se puede decir que dos capitales cualesquiera, C1, con vencimiento en t1 y C2, con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro.

Sin embargo, el concepto de equivalencia no implica que no haya ganancia o coste en la operación. Justo al revés, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta.

Para poder realizar una operación financiera es necesario que a los intervinientes las cuantías que dan o reciben les resulten equivalentes. Es ineludible que deudor y acreedor lleguen a un acuerdo con el fin de cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Ello implica escoger algún método matemático que permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera define la fórmula matemática que permite cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo.

Sabiendo cuales son las distintas leyes financieras y cuál es su funcionamiento se podrán sustituir unos capitales por otros, en lo que llamaremos: formalización de operaciones financieras.

Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera.

Para entendernos mejor, cualquier operación financiera se reduce en definitiva, en un conjunto de movimientos de caja o flujos de signo diametralmente opuestos. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de un Banco a su cliente supone, para éste último, un ingreso inicial, es decir, el capital objeto del préstamo y unos pagos periódicos o cuotas durante el tiempo que dure la operación; mientras que para el Banco, esa misma operación, implica un pago inicial y único –la cantidad prestada- y unos cobros periódicos.

Visto esto, se puede decir que toda operación financiera implica que se cumplan tres factores:

1. Que exista sustitución de capitales.
2. Que exista equivalencia entre esos capitales
3. Que se aplique una ley financiera

En toda operación financiera existen, como mínimo, dos sujetos. Uno, el acreedor, que es quien pone a disposición del otro, el deudor, una cantidad determinada de dinero que posteriormente recuperará incrementada por el importe de los intereses generados y pactados para llevar a cabo dicha operación.

La acción de entregar por parte del acreedor y recibir por parte del deudor es lo que se considerará prestación de la operación financiera. Esta operación terminará en el momento que el deudor satisfaga al acreedor el capital prestado más los intereses generados; a esta operación se la denomina contraprestación de la operación financiera.

En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de las partes nunca han de coincidir. El aplazamiento –o adelantamiento según a la parte que nos referimos- de un capital en el tiempo devengan unos intereses que formarán parte de la operación y que habrá que cuantificar. Por tanto prestación y contraprestación jamás serán aritméticamente iguales. No obstante, la ley permite que se consideren financieramente equivalentes, o dicho de otro modo, si valorásemos prestación y contraprestación en el mismo instante, con la misma ley –en este caso formula- y con el mismo tanto, entonces ambas si serían aritméticamente iguales.

Para entender mejor las fórmulas que os presento al final del artículo añadiré que el inicio en el tiempo de la operación financiera le llamaremos origen; cuando concluye la contraprestación llamaremos a ese tiempo: final; y, el intervalo entre ambos se denominará: duración de la operación financiera, durante el cual se generan los intereses.

Existen distintos tipos de operaciones financieras determinadas por el tiempo de su duración, a saber:

• A corto plazo o aquellas cuya duración será inferior o igual a un año.
• A largo plazo, las que su duración sea superior al año.

También se tendrán en cuenta los intereses generados:

• Régimen de interés simple o cuando los intereses generados en el pasado no son acumulativos y, por tanto, no generan nuevos intereses en el futuro.
• Régimen de interés compuesto o cuando los intereses generados en el pasado son acumulados al capital de partida y generan, a su vez, nuevos intereses en el futuro.

Otro factor a tener en cuenta es el sentido en el que se aplica la fórmula:

• De capitalización sustituyendo el capital presente por otro capital futuro.
• De actualización o descuento sustituyendo un capital futuro por otro capital presente, es decir a la inversa del anterior.

Otro parámetro a aplicar en la fórmula es según el número de capitales de que consta:

• Simples, las que constan de un solo capital tanto en la prestación como en la contraprestación.
• Compuestas o complejas, aquellas en las que consta más de un capital en la prestación y/o en la contraprestación.

Se entiende por rédito o tanto de interés el rendimiento generado por un capital. Se puede expresar en tanto por cien (%) o tanto por uno.

Si en el momento t1 disponemos de un capital Q y éste se convierte en un capital C2 en un determinado momento t2, el rédito de la operación será:

Sin embargo, aunque se consideran las cuantías de los capitales inicial y final, no se tiene en cuenta el aspecto temporal, es decir, en cuánto tiempo se ha generado ese rendimiento. 

Surge la necesidad de una medida que tenga en cuenta el tiempo: el tanto de interés (i).

Se define el tipo de interés (i) como el rédito por unidad de tiempo, es decir:

Rédito y tanto coincidirán cuando el intervalo de tiempo es la unidad.

EJEMPLO

Un capital de AR$ 1.000 ç se sustituye hoy por otro de AR$ 1.100 disponible dentro de un año. ¿Cuál es el rédito de la operación? ¿Y el tanto de interés anual?

Pero si la operación dura 2 años:

Por lo tanto, el rédito permanece constante ante variaciones del horizonte temporal, no ocurriendo lo mismo con el tipo de interés que es, permaneciendo invariable el resto de elementos, inversamente proporcional al plazo de la operación.

Información extractada de CEF - Matemática Financiera