El Mundo de la Empresa: Capitalización simple

Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de una ley financiera, fórmula, en régimen simple.

Partiendo de un Capital (C0) del que se dispone inicialmente, se trata de determinar la cuantía final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo que el tiempo –n- y el tipo de interés –i-.

Este capital final o montante se irá formando por la acumulación al capital inicial los intereses generados periódicamente en la operación y que, al no disponerse de ellos hasta el final, se añadirán finalmente al capital inicial.

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se acumulan al capital inicial con el fin de producir nuevos intereses en el futuro y, por tanto, los intereses de cualquiera de los periodos siempre los genera el capital inicial, al tanto de interés vigente en dicho periodo.

Gráfico para una operación de tres periodos:

El capital final de cada periodo es el resultado de añadir al capital inicial existente al dar comienzo a la operación financiera, los intereses generados durante dicho periodo de tal forma que, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0

Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0x i = C0x (1 + i)

Momento 2: C2 = C0 + I1 + I2 = C0 + C0x i + C0x i = C0x (1 + 2 i)

Momento 3: C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = C0 + C0x i + C0x i + C0 i = C0x (1 + 3 i)

...

Momento n: Cn = C0 + I1 + I2 + ... + In = C0 + C0x i + ... + C0x i = C0 + C0x nx i

Cn = C0 x (1 + n x i)

Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos los períodos.

A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización simple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restante.

Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea).

EJEMPLO 1

Calcular el montante obtenido al invertir AR$ 2.000 al 8% anual durante 4 años en régimen de capitalización simple.

C4 = 2.000 x (1 + 4 x 0,08 ) = 2.640

EJEMPLO 2

Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos AR$ 1.000 al 5% de interés anual para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés un punto porcentual.

En este caso la fórmula general de la capitalización simple no es aplicable al ser diferente el tipo de interés en cada período. El montante será, igualmente, el resultado de añadir al capital inicial los intereses de cada período, calculados siempre sobre el capital inicial pero al tipo vigente en el período de que se trate.

C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = 1.000 + 1.000 x 0,05 + 1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,07 = 1.180

1.1.5. Cálculo del capital inicial

Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:

Cn = C0 x (1 + n x i)

despejando C0 resulta:

EJEMPLO 3

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual para ese plazo?

1.1.6. Cálculo de los intereses totales

Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos.

Intereses totales =

I1 + I2 + ... + In = C0x i1 + C0x i2 + ... + C0x in

C0 x (i1 + i2 + ... + in)

Si i1 = i2 = ... = in = i se cumple:

Intereses totales =

I1 + I2 + ... + In = C0x i + C0x i + ... + C0x i

C0 x i x n

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencias entre ambos:

In = Cn - C0

EJEMPLO 4

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% simple anual?

Por suma de los intereses de cada período:

Intereses totales =

I1 + I2 + I3 + I4 = C0x i + C0x i + C0x i + C0x i = C0 x i x 4 = 300 x 0,07 x 4 = 84 AR$

También se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial:

C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384

In = 384 - 300 = 84 AR$

EJEMPLO 5

¿Qué interés producirán 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual?

In = C0 x i x n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480 €

Cálculo del tipo de interés

Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización simple y despejar la variable desconocida.

Cn = C0 x (1 + n x i)

Los pasos a seguir son los siguientes:

Pasar el C0 al primer miembro:

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 en los dos miembros):

Despejar el tipo de interés, dividiendo por n la expresión anterior:

EJEMPLO 6

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5 años se obtenga un montante de 1.500 AR$.

Cálculo de la duración

Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de interés, partiendo de la fórmula general de la capitalización simple y despejando la variable desconocida.

Punto de partida:

Cn = C0 x (1 + n x i)

Pasar el C0 al primer miembro (dividir por C0 la ecuación anterior):

--- = 1 + n x i

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 a los dos miembros):

--- - 1 = n x i

Despejar la duración n, dividiendo por i: